Может ли государственное автономное учреждение спорта начислять надбавку за непрерывный стаж работы, если такая надбавка установлена положением об оплате труда, а в трудовых договорах не значится?

Да, может. На основании Приказа № 818 надбавка за непрерывный стаж работы относится к выплатам стимулирующего характера.Согласно п. 1 Разъяснений о порядке установления выплат стимулирующего характера, утвержденных названным приказом, выплаты стимулирующего характера, размеры и условия их осуществления...